home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  5.5 KB  |  326 lines
  1. à 1.2èèFirst Order Initial Value Problems ç ê form y» = f(x)
  2.  
  3. äè Fïd ê general solution
  4.  
  5. â        y» = 6x - 5
  6.     èè░
  7.     y = ▒ 6x - 5èdxè
  8.     èè▓
  9.     Integratïg usïg ê power rule yields
  10.     yè=è3xì - 5x + C as ê general solution.
  11.  
  12. éSè A FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATION ç ê form
  13.  
  14.         y» = f(x)
  15.  
  16.     can be INTEGRATED directly ë yield
  17.         èèè░
  18.         yè=è▒èf(x) dxè+èC
  19.     èè    èèè▓
  20.     where C is a CONSTANT OF INTEGRATION i.e. an arbitrary 
  21.     constant.èIt is present as ê derivative ç any constant is
  22.     zero, êreby losïg any ïformation about its value.èThus, 
  23.     ï ê reverse process ç ïtegration we cannot specify which
  24.     constant, if any, was present prior ë differentiation.
  25.  
  26.  
  27.  1    y» = 6xì - 4x + 7
  28.  
  29.  
  30.     A)    12x - 4 + C        B)    2xÄ - 2xì + 7x + C
  31.  
  32.     C)    12x + 3 + C        D)    2xÄ - 2xì + 7 + C
  33.  
  34. ü        For y» = 6xì - 4x + 7,
  35.  
  36.     you ïtegrate    èè░
  37.             y = ▒ 6xì - 4x + 7èdx
  38.             èè▓
  39.     Usïg ê power rule, 
  40.  
  41.             y =è6 xÄ/3 - 4 xì/2 + 7 x + C
  42.  
  43.     The general soution is
  44.  
  45.             y = 2xÄ - 2xì + 7x + C
  46.  
  47. Ç B
  48.  
  49.  2    dy
  50.         ──è=è2cos[3x]
  51.         dx
  52.  
  53.     A)    6sï[3x] + C        B)    -6sï[3x] + C
  54.  
  55.     C)    2/3 sï[3x] + C        D)    -2/3 sï[3x] + C
  56.  
  57. ü        Forè dy
  58. èèè         èèè──è=è2cos[3x]
  59.         èèèdx
  60.     you ïtegrate    èè░
  61.             y = ▒ 2 cos[3x]èdx
  62.             èè▓
  63.     Usïg substitution
  64.         u = 3x, du= 3 dx i.e. dx = du/3 
  65.  
  66.     èè        èè░
  67.             y = ▒ 2 cos[u]èdu/3
  68.             èè▓
  69.             y =è2/3 sï[u] + C
  70.  
  71.     Substitutïg back ë ê origïal variable, ê general 
  72.     soution is
  73.  
  74.             y = 2/3 sï[3x] + C
  75.  
  76. Ç C
  77.  
  78.  3    y» = xe╣
  79.  
  80.  
  81.     A)    xe╣ + C            B)    xìe╣/2 + C
  82.  
  83.     B)    xe╣ + e╣ + C        D)    xe╣ - e╣ + C
  84.  
  85. ü        Forè y» = xe╣
  86.  
  87.     you ïtegrate    èè░
  88.             y = ▒ xe╣èdx
  89.             èè▓
  90.     Usïg ïtegration by parts
  91.         u = x    du = dx 
  92.         dv = e╣èv = e╣ 
  93.  
  94. è        èè░            è 
  95.         y = ▒ xe╣èdxè 
  96.         èè▓
  97.             èè ░
  98.         è=èxe╣è-è▒èe╣èdx
  99.              èè ▓            è 
  100.     The general solution is
  101.         
  102.         y =èxe╣è-èe╣è+èC
  103.     
  104. Ç D
  105.  
  106.  4    èèè ╨║
  107.         y» = xe
  108.  
  109.         è ╨║                 ╨║ 
  110.     A)    xìeè + C        B)    eè/2 + C
  111.         è ╨Ä/3                è╨ì
  112.     C)    x║eèè/6 + C        D)    xeè + C
  113.  
  114. ü    è Forèèèè ╨║
  115.         y» = xe
  116.  
  117.     you ïtegrate    èè░è ╨ì
  118.             y = ▒ xeè dx
  119.             èè▓
  120.     Usïg substitution
  121.         u = xìèèdu = 2x dxèsoèdx = du/2
  122.  
  123. è        èè░            è 
  124.         y = ▒ xe╗ du/2xè 
  125.         èè▓
  126.         èè 1è░
  127.         è=è─è▒èe╗èdu
  128.          èè 2    ▓            è 
  129.     The solution is terms ç u isè e╗/2 + C    
  130.     Substitutïg back ë ê origïal variable yields ê 
  131.     general solution 
  132.         èèè╨║
  133.         y =èeè/2è+ C
  134.     
  135. Ç B
  136.  
  137.  5    y» = sec[x]tan[x]
  138.  
  139.     A)    secì[x]tan[x]/2 + C
  140.  
  141.     B)    secì[x]tanì[x]/4 + C
  142.  
  143.     C)    sec[x] + C
  144.  
  145.     D)    sec[x] + C
  146.  
  147. ü    è Forèy» = sec[x]tan[x]
  148.  
  149.     you ïtegrate    èè░ 
  150.             y = ▒ sec[x]tan[x] dx
  151.             èè▓
  152.     directly via a trig diferentiation formula ë yield ê
  153.     general solution
  154.     
  155.             y = sec[x] + C
  156.  
  157. Ç C
  158.  
  159. äèèSolve ê ïitial value problem
  160.  
  161. â    è Forèèy» = -2x + 5
  162.         y(0) =è4
  163.     Integratïg, usïg ê power rules yields ê general
  164.     solutionèè y = -xì + 5x + C
  165.     Substitutïg x = 0 yieldsè 4 = C
  166.     Thus ê solution isèy = -xì + 5x + 4
  167.  
  168. éS        The general solution ë a first order differential
  169.     equation contaïs one arbitrary constant ç ïtegration
  170.  
  171.         y = F(x) + C
  172.  
  173.     whereèF is ê ANTIDERIVATIVE ç f ï y» = f(x)
  174.  
  175.         This equation represents a FAMILY OF CURVES which are
  176.     identical except for ê value ç C.èExcept for possibly one
  177.     poït that ê entire family passes through [For example,
  178.     ê family y = cx are lïes passïg through ê origï], ê
  179.     members ç ê family are mutually exclusive å pass through
  180.     all poïts ï ê plane.èThus, specifiyïg one poït that lies 
  181.     on ê specific solution will be sufficient ïformation ë 
  182.     decide on ê value ç C.
  183.  
  184.         Formally, an Initial Value Problem for a FIRST ORDER
  185.     DIFFERENTIAL EQUATIONèconsists ç two parts
  186.  
  187.     1)    A first order differential equation
  188.  
  189.     2)    An INITIAL VALUE, generally ï ê form
  190.  
  191.             y(x╙) = y╙
  192.  
  193.         The process for solvïg ê ïitial value problem is
  194.     a two-step one.è
  195.         First solve ê differential equation ë produce a
  196.     general solution with an arbitrary constant ç ïtegration.
  197.         Second, substitute ê ïitial value x╙ ïë ê 
  198.     general solution å equate ê result ë y╙.èThis is one
  199.     equation ï ê unknown C.èSolvïg it produces ê solution
  200.     ç ê ïitial value problem.
  201.  
  202.  6    y» = 4x - 7
  203.     èèè    y(0) = 4
  204.  
  205.  
  206.     A)    2xì - 7x - 4        B)    2xì - 7x
  207.  
  208.     C)    2xì - 7x + 4        D)    2xì - 7x + 7
  209.  
  210. ü    èè Forèèy» = 4x - 7
  211.  
  212.     Direct itegration produces ê general solution
  213.         
  214.         y = 2xì - 7x + C
  215.  
  216.     Substitutïg x = 0 å y = 4 yields
  217.         
  218.         4 = C
  219.  
  220.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  221.         
  222.         y = 2xì - 7x + 4
  223.  
  224. Ç C
  225.  
  226.  7è     y» = xì - 4x
  227.         y(3) = 5
  228.  
  229.  
  230.     A)    xÄ/3 - 2xì - 4        B)    xÄ/3 - 2xì
  231.  
  232.     C)    xÄ/3 - 2xì + 5        D)    xÄ/3 - 2xì + 14
  233.  
  234.  
  235. ü    èè Forèèy» = xì - 4x
  236.  
  237.     Direct itegration produces ê general solution
  238.         
  239.         y = xÄ/3 - 2xì + C
  240.  
  241.     Substitutïg x = 3 å y = 5 yields
  242.         
  243.         5 = 9 - 18 + C
  244.  
  245.     So    C = 14
  246.  
  247.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  248.         
  249.         y = xÄ/3 - 2xì + 14
  250.  
  251. Ç D    
  252.  
  253.  8    y» = 1/xì
  254.         y(1) = 4
  255.  
  256.  
  257.     A)    1/x + 3            B)    -1/x + 5
  258.  
  259.     C)    2/xÄ + 2        D)    -2/xÄ + 6
  260.  
  261. ü    èè Forèèy» = 1/xìè= xúì
  262.  
  263.     Direct itegration, usïg ê power rule, produces ê general
  264.     solution
  265.         
  266.         y = xúî/-1 + C
  267.  
  268.         è= -1/x + C
  269.  
  270.     Substitutïg x = 1 å y = 4 yields
  271.         
  272.         4 = -1 + C
  273.  
  274.     So    C = 5
  275.  
  276.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  277.         
  278.         y = -1/x + 5
  279.  
  280. Ç B
  281.  
  282.  9    y» = 6eÄ╣ + 3
  283.         y(1) = 2eÄ + 4
  284.  
  285.  
  286.     A)    6eÄ╣ - 2        B)    6eÄ╣ + 3x + 1
  287.  
  288.     C)    2eÄ╣ + 4        D)    2eÄ╣ + 3x + 1
  289.  
  290. ü    èè Forèèy» = 6eÄ╣ + 3
  291.  
  292.     Splittïg this ïë two ïtegrals å usïg substitution
  293.     on ê first yields
  294.  
  295.         èè ░
  296.         y =è▒è6eÄ╣ + 3èdx
  297.         èè ▓
  298.         u = 3xèdu = 3 dxèsoèdx = du/3
  299.             ░    èè░    
  300.         yè=è2 ▒ e╗ duè+è▒è3 dx
  301.             ▓    èè▓
  302.         è =è2 e╗è+è3xè+èC
  303.  
  304.     Substitutïg back ë ê origïal variable produces ê 
  305.     general solution
  306.         
  307.         y = 2 eÄ╣è+è3xè+èC
  308.  
  309.     Substitutïg x = 1 å y = 2eÄ + 4 yields
  310.         
  311.         2eÄ + 4 = 2eÄ + 3 + C
  312.  
  313.     So    C = 1
  314.  
  315.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  316.         
  317.         y = 2eÄ╣ + 3x + 1
  318.  
  319. Ç D    
  320.  
  321.  
  322.  
  323.  
  324.  
  325.  
  326.